全国2011年1月高等教育自学考试

高等数学（一）试题

课程代码：00020

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1．函数f(x)= +ln(3-x)的定义域是( )

A．[-3,2] B．[-3,2)

C．[-2,3) D．[-2,3]

2．已知函数f(x)= 在x=0处连续，则常数k的取值范围为( )

A．k≤0 B．k>0

C．k>1 D．k>2

3．曲线y=2ln 的水平渐近线为( )

A．y=-3 B．y=-1

C．y=0 D．y=2

4．定积分 =( )

A．0 B．

C．1 D．e

5．若 ，则点(x₀,y₀)是函数f(x,y)的( )

A．极小值点 B．极大值点

C．更值点 D．驻点

二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

6．已知 ，则f(x)=_________.

7．函数f(x)= 的间断点是_________.

8．设函数y=sin(2x+2^x)，则dy=_________.

9．极限 =_________.

10．曲线y=ln(1+x²)的凹区间为_________.

11．函数f(x)= 的单调减少区间是_________.

12．定积分 =_________.

13．极限 =_________.

14．无穷限反常积分 =_________.

15．设二元函数z=cos(2y-x),则 =_________.

三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

16．求极限 .

17．设函数y= ,求导数y＇.

18．已知f(x)的一个原函数是 ,求 .

19．求微分方程y＇+y=0在初始条件y(0)=1下的特解.

20．计算二重积分 ,其中D是由直线y=2-x与

抛物线y=x²所围成的平面区域.

四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）

21．设函数f(x)=(1+x²)arctan x,求f(x)的三阶导数.

22．求函数f(x)= 的极值.

23．试确定常数a,b的值,使得(1,3)是曲线y=ax³+3x²+b的拐点.

五、应用题（本题9分）

24．某工厂生产两种产品I和II,销售单价分别为10元与9元,生产x件产品I与生产y件产品II的总费用为C=400+2x+3y+0.01(3x²+xy+3y²)(元).

问两种产品的产量各为多少时，才能使总利润更大？

六、证明题（本题5分）

25．设函数f(u)可导, ,证明: .

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